名前のない橋はありますよ、むしろそちらの方が多いと思います。
橋の名前には、その場所の地名または渡る川の名前を関連付ける場合が多いと思います。同じ土地、川に渡る橋が複数ある場合などは、「○号橋」などと番号を付けたり道路名を付加して区別する場合もあります。他にも人名（土地ゆかりの人物や製作者の名前など）や風景、故事にちなんだ名称など様々です。
たとえば、私の住んでいる地域の大きな川に渡る橋の一つに「銭取橋」という橋があります、おそらく昔は通行料を払って橋を渡ったのだと思います。 また、レインボーブリッジのように正式名称のほかに、愛称や通称で呼ばれる橋もあります。
逆に、その地域に橋が一つしかなければ「○○（地域）の橋」で分かるので、名前が必要ない橋もあるでしょうし、自宅の前に川があって、そこを渡るための橋などは沢山ありそうですから、名前をいちいち付けるのは大変です。
橋の名称は公共物として維持管理をする必要上、必要に応じて付けるのではないかと思います。古くからある橋などは通称がありますが、新しい橋にはないため、区別をするために命名されたのを「橋には名前が必要なのだ」と勘違いされたのかと思います。
