● 第四段 ● ７の倍数の見分け方
偶数・奇数といえば、知らない人はいまい。でも、０が偶数なのか、奇数なのかと問われると、即答できます？
■ 偶数 ■
２の倍数。整数をｍで表したとき、２ｍで表すことのできる数。
これが、偶数の定義だ。ｍ＝０のとき、２ｍ＝０であるから、０は立派な偶数である。
小学６年生への問題で、
「３の倍数を小さいものから４つ書きなさい」
などというのがある。小学校では負の数は扱っていないから、正解は「０、３、６、９」である。０が入るところがミソ。０は、すべての整数の倍数である。
「1234は、２の倍数？」
この問題を答えるためには、一の位だけに注目すればよい。他の位の数は、関係がない。一の位の数が０、２、４、６、８、つまり２の倍数ならば、元の数も２の倍数になる。
他の１桁の数の倍数についても、素早く判断する方法を紹介しよう。
まず、５の倍数。５の倍数も、一の位で見分けられる。一の位の数が、０か５であるなら、５の倍数だ。
次に、３の倍数。中学生になると、３の倍数の見分け方を知っているという生徒がいる。この方法は、なかなか面白い。各位の数の和を求めて、それが３の倍数なら元の数も３の倍数だというわけだ。例をあげよう。
6543の場合 ６＋５＋４＋２＝18
18は３の倍数だから、6543は３の倍数である。
5678の場合 ５＋６＋７＋８＝26
26は３で割り切れないから、5678は３の倍数ではない。
９の倍数の場合も同様だ。各位の数の和が９の倍数になっていればよい。
次に、４の倍数。判断のポイントは十の位と一の位の下２桁。100が４の倍数だから、百の位から上は、無視することができるのだ。つまり、下２桁が４の倍数なら、４の倍数ということになる。
たとえば、5678の場合、下２桁の「78」が４の倍数ではないから、これは４
の倍数ではない。
同様に、８の倍数も判断できる。1000が８の倍数だから、千の位から上は無視できる。判断のポイントは下３桁。下３桁が８の倍数なら、元の数は８の倍数である。
この考えを進めていけば、16の倍数、32の倍数も判断できるはずだ。できるというだけで、そんな場面はあまり登場しないと思われるが……。
６の倍数は、６が２と３の最小公倍数であることを利用する。つまり、２の倍数でもあり、３の倍数でもあるという数を見つければよい。２の倍数の見つけ方と３の倍数の見つけ方を合体させればよい。
最後に、７の倍数の場合。これは手強い。何かいい方法はないかと悩んでいたら、数学が得意な友人の杉野君が教えてくれた。３桁の数の場合と４桁以上の数の場合に分けて考えるそうだ。
まずは、３桁の数の場合。百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の数をcと表す。これが７の倍数かどうかを調べるには、
2a＋10b＋c
が、７の倍数になっているかどうかを調べるといい。
532という数の場合では、
2×5＋32＝42
42は７の倍数だから、532も７の倍数ということになる。どうしてそうなるのかは、中学数学の問題。ヒントとして、
98＝7×14
をあげておこう。
次に４桁以上の数の場合。この場合、与えられた数を千の位以上のグル−プと百の位以下のグル−プに分ける。なぜ、このように分けるのか、これもヒントとして、
1001＝7×143
をあげておこう。
654227を例にする。
(1) 千の位以上のグル−プと百の位以下のグル−プに分ける。例の場合は、
「654」と「227」。
(2) 654−227＝427
(3) この427が７の倍数なら、もとの数も７の倍数だ。
ここで、先に説明した３桁の数の場合の判別方法を用いる。
2×4＋27＝35
(4) 35は７の倍数なので、もとの数も７の倍数というのが分かる。
７桁以上の数の場合は、(2)での引き算の結果が４桁以上になることがあるが、その場合は、３桁以下になるまで同様のことを続ければよい。
しかし、７の倍数が見分けられると何の役に立つのか？ それが問題だ。
【メモ】
◆奇数を英語では、odd number。偶数は、even number。
◆問題。１年間に偶数の日と奇数の日とでは、どちらが多いか？
これは、ちょっと考えてみればすぐにわかる。30日まである月だと、奇数日も偶数日も同じ日数だけあることになる。１年のうちには、31日まである月が７ヶ月あるわけだから、奇数の日の方が多くなる。
◆「２より大きなすべての偶数は、２個の素数の和である」
という命題は、「ゴールドバッハの予想」と呼ばれている。まだこの命題の真偽が証明されていない。だから、「予想」なんだけど……。
◆婦人服のサイズは、５、７、９、11、13……と、奇数で表されている。これは、アメリカの婦人服のサイズの表示を、日本が20年ほど前に「輸入」したもの。なぜ、アメリカで奇数のサイズ表示が使われていたのかは、よく分かっていないそうだ。ちなみに、日本で７号といえば、Ｓサイズ。SSが５号、Ｍが９号、Lが11号となっている。
◆さて、７の倍数の見分け方について、すっきりしない人のために、もうすこし種明かし。
まずは、３桁の数の場合。ヒントにあったように、98が７の倍数であることを利用する。ここから、100を７で割ると２あまり、200だったら４あまることがわかる。つまり、百の位の数がaだとすると、2aあまることになる。これを下の２桁と合わせて、判断すればいいわけだ。十の位の数をb、一の位の数をcとすると、
2a＋(10b＋c)
で判断することになる。
◆次に、４桁以上の数の場合。ヒントにあったように、1001が７の倍数であることを利用すると、たとえば654654が7の倍数であることはすぐにわかる。
654654＝654×1001＝654×7×143
つまり、千の位以上の３桁と百の位以下の３桁が一致していればその時点で７の倍数なのだ。
では、本文の例にもあった654227ならどうするか？ 繰り返してないぞ！ このときは、654654が７で割り切れるということを利用するのだ。654227と654654との差を求めて（差は必ず３桁以下になるはずだ！）、それが７の倍数になっているかどうか調べればよい。だから、(2)で、
654−227＝427
の計算を行っていたのだ。わかったかな？
◆「７」ということで、すこしだけ……。
英語でbig dipper（大きなひしゃく）と呼ばれる北斗七星があるのは、おおぐま座。北極星をはさみ、カシオペア座と向い合っている星座だ。その北極星は、北斗七星のひしゃくのますの外側の２つの星αとβを結び、その線を５倍ほど延長すると見つかる。この方法は小学校でならったが、このことから、こ
の２つの星は「ポインターズ（指示星）」と呼ばれているそうだ。
また、春の星空で見られる「春の大曲線」にも、北斗七星が一役買っている。ひしゃくの柄の部分、うしかい座のアークトゥルス、乙女座のスピカを結ぶ線がそれだ。
◆北斗七星の柄の先端から2番目の星の名前は、ミザール。ミザールのそばにはアルコルという星があり、昔アラビアでは、両方の星を見分けられるかどうかを、兵士の目の検査に用いていたそうだ。
◆ちなみに、いて座にもひしゃくの形に並んでいる６つの星があり、中国では「南斗六星」と呼んでいた。西洋では、ミルキー・ウェイ（乳の道、天の川のこと）のミルクをすくうスプーンと見ているそうな。