● 第二十八段 ● How old are you?
下のＡ〜Ｅの５枚のカードを用意する。あと、相手になってくれそうな人物も一人用意する。
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┃ Ａ 1 3 5 7 ┃ ┃ Ｂ 2 3 6 7 ┃
┃ 9 11 13 15 ┃ ┃ 10 11 14 15 ┃
┃ 17 19 21 23 ┃ ┃ 18 19 22 23 ┃
┃ 25 27 29 31 ┃ ┃ 26 27 30 31 ┃
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┃ Ｃ 4 5 6 7 ┃ ┃ Ｄ 8 9 10 11 ┃
┃ 12 13 14 15 ┃ ┃ 12 13 14 15 ┃
┃ 20 21 22 23 ┃ ┃ 24 25 26 27 ┃
┃ 28 29 30 31 ┃ ┃ 28 29 30 31 ┃
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┃ Ｅ 16 17 18 19 ┃
┃ 20 21 22 23 ┃
┃ 24 25 26 27 ┃
┃ 28 29 30 31 ┃
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「稲田君の誕生日を当ててやろう」
「いや、当てなくていいよ。知ってるだろ」
「いいから、いいから。確か４月生まれだったね」
「そうだよ。で、何を当てるんだい」
「だから、生まれた日を当てるんだよ」
「30分の１の確率ってわけだ」
「いやいや、確実に当ててみせる。このＡ〜Ｅのカードの中で、君の生まれた日が書かれているカードだけを僕に渡してくれ」
「何やらからくりがありそうだな。え〜と、どのカードにも書かれてあるよ」
「ということは、君は31日生まれだね。おかしいな、４月は30日までだぞ」
「なるほど。嘘をつくと当たらないんだ」
「嘘はいいから、本当を言ってくれ」
「Ａ、Ｂ、Ｅのカードに書いてあるよ」
「え〜と、君は、19日生まれだね」
「最初から知ってたくせに」
これに似たことを、小学校の時分にやられた。悔しかった。なぜ当たるのか、その仕組みが分からなかったからだ。当てる方法は簡単だ。先の例で説明しよう。Ａのカードの左上の数字は「１」。Ｂは「２」。Ｅは「16」。これらの数を足せばよい。
1＋2＋16＝19
今なら何のことはない、２進法だ。見ればすぐ分かるが、Ａのカードに書いてある数は全て奇数になっている。つまりこういうことだ。
Ａ‥‥２進法で表したとき、 １の位の数が１になる数。
Ｂ‥‥２進法で表したとき、 ２の位の数が１になる数。
Ｃ‥‥２進法で表したとき、２の２乗の位の数が１になる数。
Ｄ‥‥２進法で表したとき、２の３乗の位の数が１になる数。
Ｅ‥‥２進法で表したとき、２の４乗の位の数が１になる数。
「19」を２進法で表すと、「10011」。だから、ＡとＢとＥのカードに「19」が書いてあるわけだ。
応用問題として、年齢を当てるときに使うカードの製作を宿題にしようと思ったが、素直に紹介しておこう。32歳以上にも対応するためには、カードは６枚必要となる。女性に年齢を尋ねるのがむずかしい状況で使えるかな。
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┃ Ａ 1 3 5 7 9 11 13 15 ┃
┃ 17 19 21 23 25 27 29 31 ┃
┃ 33 35 37 39 41 43 45 47 ┃
┃ 49 51 53 55 57 59 61 63 ┃
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┃ Ｂ 2 3 6 7 10 11 14 15 ┃
┃ 18 19 22 23 26 27 30 31 ┃
┃ 34 35 38 39 42 43 46 47 ┃
┃ 50 51 54 55 58 59 62 63 ┃
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┃ Ｃ 4 5 6 7 12 13 14 15 ┃
┃ 20 21 22 23 28 29 30 31 ┃
┃ 36 37 38 39 44 45 46 47 ┃
┃ 52 53 54 55 60 61 62 63 ┃
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┃ Ｄ 8 9 10 11 12 13 14 15 ┃
┃ 24 25 26 27 28 29 30 31 ┃
┃ 40 41 42 43 44 45 46 47 ┃
┃ 56 57 58 59 60 61 62 63 ┃
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛
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┃ Ｅ 16 17 18 19 20 21 22 23 ┃
┃ 24 25 26 27 28 29 30 31 ┃
┃ 48 49 50 51 52 53 54 55 ┃
┃ 56 57 58 59 60 61 62 63 ┃
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛
┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃ Ｆ 32 33 34 35 36 37 38 39 ┃
┃ 40 41 42 43 44 45 46 47 ┃
┃ 48 49 50 51 52 53 54 55 ┃
┃ 56 57 58 59 60 61 62 63 ┃
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「あら、どのカードにも、私の年が書かれてないわ！」
と言われたら、彼女は64歳以上だ。
【メモ】
◆年齢のほかにも「１才、２才……」と数えるものがある。
「才」は船荷や石材の体積を表す単位で、１才とは１辺が１尺の立方体１つの体積のこと。これは、0.0278ｍ^3、およそ28リットルにあたる。
◆２進法では、数字は「１」と「０」の２つしか使用しない。10進法に慣れ親しんでいる我々には分かりにくいが、電気回路などにとっては非常に便利だ。電気を通す、通さないで数を表すことができるからだ。
◆指を伸ばす、折るで、数を表現できる。伸ばした状態を「１」、折った状態を「０」とする。この方法で、片手だけで31まで数えることができる。どっちの手でもかまわないのだが、右手で数えることにする。
親指…………１の位
人差し指……２の位
中指…………４の位（２の２乗の位）
薬指…………８の位（２の３乗の位）
小指…………16の位（２の４乗の位）
たとえば、19を２進法で表すと「10011」。だから、小指、人差し指、親指を伸ばした状態が19を表すというわけ。「グー」は０、「チョキ」は８、「パー」なら31を表している。考えて使うと、かなり便利だと思うのだけど……。
◆一芸にもなる。指を折ったり伸ばしたりしながら、１〜31までスラスラ数えると、観衆はかなり驚く。指がつっても知らないぞ！
◆21は、キツイ。
◆「チョキ」には、６のタイプと３のタイプがある。
◆キャンディーズは、ヒット曲『やさしい悪魔』の中で、17を示す指サインで踊っていた。
◆両手を使ったら、1023まで数えることができる。足の指まで全部使ったら、1048575まで数えられる。足の指がそんな器用に動くかどうかは、別の問題。
◆足の指なのに、「指」という漢字には手へんが使われている。変だ。英語では、手の指はfinger、足の指はtoeと、ちゃんと区別するのに……。
◆探してみるものだ、ちゃんと「足の指」を表す漢字があった。「趾」だ。古くはこの字を用いて手の指と区別をしていたが、近年廃止されて「指」となり、必要なときは「足の指」とすることになったそうだ。
◆足の「人差し指」や「薬指」という表現も変だ。足の指で、人をさしたり、薬を溶いたりしないぞ。
足の場合でも、親指は親指、小指は小指と呼ばれている。あとの指だが、親指のとなりから順番に、第２指、第３指、第４指となっている。真ん中の指は、「中指」と呼んでもかまわないのに……。
◆ここに、40人のクラスがあるとしよう。このクラスの中に、同じ誕生日の生徒がいる確率を求めたい。
こういった確率は、「余事象」を使って計算されることが多い。つまり、
「同じ誕生日の生徒がいる確率」ではなく、「同じ誕生日の生徒がいない確率」
を求め、それを１から引き算するのだ。やってみよう。365
まず、１人目。この人の誕生日はいつでもいいから、――
365
364
２人目の誕生日は、１人目の誕生日と違ってないといけないから、――
365
363
３人目の誕生日は、先の２人の誕生日と違ってないといけないから、――
365
というふうに、以下40人目まで考えて、それぞれの分数をかけ算する。これが、「同じ誕生日の生徒がいない確率」。だから、あとは、これを１から引けばよい。
365 364 363 326
1−――×――×――×……×――
365 365 365 365
こういう計算は、コンピュータにさせるにかぎる。
上の式の結果は、0.891238……、つまり、40人のクラスで同じ誕生日の生徒が存在する確率は、およそ9割にもなるのだ。
ちなみに、確率が５割を越えるのは、23人目。
◆「40人の中に、私と同じ誕生日の人がいる確率」となると、計算は別。残りの39人が全員「私」と違う誕生日になる確率を求め、それを１から引けばよい
365 364 364 364
1−――×――×――×……×――
365 365 365 365
｜ ｜
￣￣￣ 39回 ￣￣￣￣
結果は、0.1014707……。ちょうど１割くらいだ。
なお、この計算は１年を365日としている。２月29日を入れて366日とすると結果は若干異なる。
この確率をどう捕らえるべきか？ １割ということは、小・中学校で一度くらい、クラスに同じ誕生日の人がいたという経験があるということか。
あなたはどうですか？