・ 第六十一段の一 ・ どうして14分の１なのか？
大相撲の巴戦の話だった。
すこし復習しておく。巴戦に出場する力士は、Ａ、Ｂ、Ｃの３人。３人の実力は全くの互角。最初に対戦するのは、ＡとＢ。このとき、後から対戦するＣは、優勝する確率が、先に対戦するＡ、Ｂに比べてだけ小さいというのだが、その計算方法が分からなかったのだ。教えてもらったが、かなりむずかしかった。数学の話は虫酸が走るという人は、読み飛ばした方がいいかもしれない。
さあ、Ｃのつもりになって読んでください。
Ｃが優勝するための最短距離は、
ＡＣＣ or ＢＣＣ
となる。これは、勝った力士を、取り組みが行われた順番に並べたものだ。第１戦では、Ａ、Ｂのどっちが勝ってもかまわないことがわかる。どちらが勝とうが、優勝するつもりのＣには関係ない。だから、とりあえず、第１戦はＡに花を持たせて、以後を考えることにする。すると、Ｃが優勝するパターンは、次のようになる。
ＡＣＣ
ＡＣＢＡＣＣ
ＡＣＢＡＣＢＡＣＣ
ＡＣＢＡＣＢＡＣＢＡＣＣ
：
これを見ると、Ｃが優勝するチャンスは、第３戦、第６戦、第９戦……。つまり、第3n戦（ｎは自然数）のときだと分かる。Ｃは第3n戦で相手に勝てば、優勝できるのだ。
よく考えてみれば、巴戦では、第１戦と第２戦は、必ず行れる。しかし、第３戦以降は優勝の権利を持った力士が負けた場合にのみ行われることになる。したがって、第３戦が行われる確率は、1/2ということだ。以降、第ｎ戦目が行われる確率は、次の通り……。
第１戦，第２戦 … １
第３戦 … 1/2
第４戦 … 1/4
第５戦 … 1/8
第６戦 … 1/16
：
：
第ｎ戦 … 1/2^(n-2)
※たとえば、「3＾2」という表記は、「３の２乗」を表す。
Ｃが優勝するためには，優勝権を持った試合（第３戦、第６戦、……、第3n戦で巡ってくる）で勝てばよい。
第３戦まで進んで、しかもＣが勝つ確率……(1/2)×(1/2)＝1/4
第６戦まで進んで、しかもＣが勝つ確率……(1/16)×(1/2)＝1/32
第９戦まで進んで、しかもＣが勝つ確率……(1/128)×(1/2)＝1/256
したがって、Ｃが優勝する確率の合計は，
1/4 + 1/32 + 1/256 + …
しかし、これを永遠に足し続けるのは大変だ。こういうときは、あっさりと公式のお世話になることにしよう。初項a、公比r（r＜1）の等比数列を無限に足し続けたときの和Ｓは、次の式で求められる。
a
Ｓ＝――――
1−r
この式に初項1/4、公比1/8を代入して、和を求めると2/7を得る。
やっと出た。Ｃが優勝する確率は、2/7だ。では、残りの5/7は何かというと、当然Ａ、Ｂの優勝する確率だ。２人の優勝確率は、全く同じなので、これを２で割ればよい。つまり、最初に対戦する２人の優勝する確率は、5/14だ。
まとめてみよう。
Ａ、Ｂが優勝する確率……5/14
Ｃが優勝する確率…………2/7（4/14）
ほら、Ｃが優勝する確率は、他の二人より1/14だけ小さいでしょ。
以上、最後までおつきあいくださった方、ありがとうございました。
【メモ】
◆しかし、実際は試合数が多くなれば、それだけ疲労も蓄積されるのだから、後から対戦するＣにもメリットはある（かな？）。
◆相撲で、「全勝優勝」って呼ばれるものがある。昨今は、朝青龍がなんだか簡単にやってしまいそうなのだが、あれは、大変だぞって話。
相手が互角の力を持っているとすれば、勝つ確率は1/2。互角の相手と15連勝する確率は、（1/2）^15＝0.0000030517578125……
すごい値でしょ。こんな確率だったら、ほとんど起こらないという感じだが、それをやってのけるということは、互角の相手が15人並んでいるのではないということ。つまり、朝青龍が群を抜いて強いということだ。