● 第九十八段 ● O,T,T,F,Fって何でしょう？
まずはよく知られた問題から。
(1) 1……O 2……T 3……T 4……F 5……F
数字とアルファベットを対応させてあるのだが、その対応のルールを発見できただろうか？ ヒントは、英単語。
そうそう、その数を英語で表現したときの頭文字だ。１なら、oneだから、「０」ってことだ。
では、いくつか問題を出してみよう。
(2) 1……J 2……F 3……M 4……A 5……M
(3) 1……6 2……5 3……4 4……3 5……2
(4) 1……0 2……0 3……0 4……1 5……0
6……1 7……0 8……2 9……1 10……1
(5) 1……1 2……2 3……2 4……3 5……2
6……4 7……2 8……4 9……3 10……4
(2)〜(4)の解答は、あとで【メモ】を読んでもらうとして、今回のお話の中心は(5)。さて、ルールがわかっただろうか？ これだけのヒントでわかったしまった人もいるかもしれないが、もう少しヒントを出そう。
11……2 12……6 13……2 14……4 15……4
16……5 17……2 18……6 19……2 20……6
これで、どうだろう？ 左側の数が大きくなったからといって、それにつれて右側も大きくなるというわけではない。一体何なのか？
右側の数に注目してみよう。1,2,2,3,2,3,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6,……。規則性があるとは思えない。しかし、よ〜く見てみると、なんだか2の登場回数が多いことがわかる。このあたりが突破口になる。
右側の数が2になっている数は、2,3,5,7,11,13,17,19。さて、ピンときただろうか？
「19の次は、23ですね」
「正解」
「ということは……、21なら4ですね」
「その通り」
さすがに数学が得意な杉野君は、この段階でクリアした。
2,3,5,7,11,13,17,19,23,……
そう、これは、素数だ。素数とは、「１より大きい整数で、１とその数自身以外に約数を持っていない数」のことだ。だから、当然、素数は約数を２個しか持っていない。
ここらで答えをいってもいいだろう。(5)は、左側の数の約数の個数を求めたものだったのだ。４の約数なら３個ある――ということだ。
さて、20の約数は全部で６個あるが、みなさんはこの「６」という数をどうやって求めているだろうか？ 20くらいの小さい数なら約数を数えても大したことではないが、もっと大きな数になると、約数の個数を数えて求めるのは、かなりやっかいだ。
そこで、約数の個数を計算で求める方法を紹介しよう。
例として、24の約数の個数を求めてみる。
(1) まずは、24を素数の積の形に分解する。下のような方法で、24をできるかぎり小さな素数で割り続けていくのだ。最後が素数になればフィニッシュ。
2 ) 24
2 )￣12￣
2 )￣ 6￣
￣ 3￣
3 1
この結果から、24＝２ ×３ と表されることがわかる。ふつうは、「３の１乗」などという表現は使わないが、あとの計算のために、ここではこうしておく。
(2) 累乗の指数に注目する。指数というのは、累乗を表すために数の右肩につける数のことで、「２の３乗」の指数は「３」だ。この指数に１を加えたものをかけ合わせる。
「2の3乗」だから、3＋1＝4
「3の1乗」だから、1＋1＝2
4×2＝8
つまり、24の約数は8個ある。実際、24の約数は、1,2,3,4,6,8,12,24だから、確かに合致している。
【メモ】
◆整数を素数の積の形にすることを、「素因数分解」という。積の順序を問わなければ、どの整数も分解は1通りしかない。
◆なぜ、先の方法で約数の個数を求めることができるのか？ もうすこし小さな数で考えてみよう。たとえば、９の約数。９は３の２乗、つまり、
「９は、２個の３を材料としてできあがっている数だ」
と、考えることだできる。９の場合の材料はたったの２個しかないのだから、材料の使い方としては、以下の３通り以外に考えられない。
２個ある３のうち、２個を使う……………………９
２個ある３のうち、１個を使う……………………３
２個ある３のうち、０個を使う（使わない）……１
３通りしか考えられないのだから、約数は３個しかない。
◆本文で述べた24の場合、２個の３、１個の３を材料にもっているから、
２の使い方……４通り
３の使い方……２通り
となり、全部の組み合わせは、4×2＝8 となるわけである。
◆素数ではない整数のことを、「合成数」と呼んでいる。
◆本文の問題の解答。
(2)は、月の英語名の頭文字。１月なら、Januaryだから「J」。
(3)は、さいころの裏の面の目の数。しかし、これだと、左側の数は６までしか考えられないから困る。その後のことも考慮に入れて、「７からその数を引き算した結果」といった方がいいかもしれない。
(4)は、線によって囲まれた領域の数。888なら、６だ。
◆会議などで、多くの意見が出され、どうにもまとまらないとき、出された意見の共通部分を結論として、全員が納得するという場面がよくある。このようなとき、「意見の最大公約数を採用する」などといわれる。数学用語が日常で使われる数少ない例だ。
◆いやいや、「同類項」というのもある。式において文字の部分が同じである項のことだが、これが転じて「同じような性質をもった仲間」の意味でも用いられる。しかし、どちらかというと、いい意味で使われる場合は少なく、「同じ穴の貉（むじな）」のような意味で使われることの方が多い。
「君と僕とは同類項だね」
と言われたら、
「勝手に同類項にするな」
と言い返した方がいい。
◆ムジナは、アナグマやタヌキの異名。地域によって意味するものが異なり、両者を混同してムジナということもある。
◆「同じ穴の貉」を探してみた。貉、豹（ヒョウ）、貂（テン）、貘（バク）
などがある。これらの漢字の部首は、共通して「豸」。「むじなへん」という。