・ 第九段の二 ・ 白銀は、まねるよ
（この段は、第九段の一からの続きです）Ａ０判の紙の大きさは、841mm×1189mm。これを長い方の辺で半分に折った大きさが、Ａ１判。それをさらに半分にしたら、Ａ２判。さらにさらに半分に折って、Ａ３判。そして、Ａ０判、Ａ１判、Ａ２判、Ａ３判、……は、お互いがすべて相似な長方形になっている。
このようにうまくいくのは、縦と横の長さの比が特別に設定されているからだ。第９段の【メモ】では、その比を求めることを宿題にしたが、今回はその比を求めてみよう。下の図を見てほしい。
ａｘ
＋―――＋―――＋
｜ ｜ ｘ
｜ ｜ ＋―――――＋
ｘ｜ ｜ ｜ ｜
｜ ｜ ax/2｜ ｜
｜ ｜ ｜ ｜
＋―――＋―――＋ ＋―――――＋左の長方形の横の辺の長さが、縦の辺の長さのａ倍（ａ＞１）であるとする。その横辺を半分に折ってできたのが、右で長方形ある。この２つの長方形の縦横の比が同じになればいいのだから、
a
1:a＝――:1
2
内項の積と外項の積は等しくなるから、
a^2
―――＝1 （「^2」は、２乗を表す）
2
a^2＝2
a>0 だから、
a＝√2
つまり、縦横の辺の比は、1:√2 なのだ。小数を使って表せば、1:1.414 くらいということになる。Ａ判、Ｂ判などの紙の「半分にしても相似状態」という性質は、この縦横の比率に秘密があったのだ。
さて、1:√2 といえば、これは、正方形の１辺と対角線の比にあたる。
ａ
＋――――＋
｜＼ ｜
｜ ＼ｂ ｜
ａ｜ ＼ ｜
｜ ＼｜ a:b＝1:√2
＋――――＋
小学校でも習う簡単な図形に、この比は潜んでいたのだ。そこで、このような特別な意味を持つ比 1:√2 を「白銀比（はくぎんひ）」、縦横の辺の比が白銀比である長方形を「白銀長方形」と呼ぶことがある。
少し発展させて考えてみよう。今度は下の図のように、３つに折る。折ってできた長方形が、もとの長方形と相似になるようにするには、縦横の辺の比をどうすればいいか。先と同じ様な式を立ててみよう。1:√3 になるはずだ。
ａｘ
＋――＋――＋――＋
｜ ｜
｜ ｜ ｘ
ｘ｜ ｜ ＋―――――＋
｜ ｜ ｜ ｜
｜ ｜ ax/3｜ ｜
｜ ｜ ｜ ｜
＋――＋――＋――＋ ＋―――――＋
実は、この 1:√3 というのは、白銀長方形の１辺と対角線の比になっている。ちょっと面白いと思いません？
【メモ】
◆「半分にしても相似状態」である図形は、白銀長方形だけではない。三角形の仲間にも存在する。それは、直角二等辺三角形。どのように折るのかは、それくらいは、自分で考えること。
◆で、ほかにもあるのかと考えてみたが、五角形から先には、発見できそうにない。だから、この白銀長方形と直角二等辺三角形は、かなり特殊な図形だといえる。
◆√2 は、1.41421356……。「一夜一夜に人見頃」と暗記した。
◆従来のテレビの画面の縦横の比率は、3:4。ハイビジョンテレビは、9:16。
◆「銀」は、これ一字で「しろがね」と読む。「こがね」は、金。「くろがね」は、鉄。「あかがね」は、銅。「みやこがね」は、もち米の銘柄。「ひよこがね……」で始まる童謡は、『かわいいかくれんぼ』。
◆歌舞伎の小道具に、差金（さしがね）がある。客に見えないように、陰から蝶や鳥などを操る黒塗りの細い竹竿のことだ。
◆「銀（しろがね）も黄金も玉も何せむに まされる宝 子にかめもや」は、山上憶良の句。
◆小学校の低学年では、正方形のことを「ましかく」、長方形のことを「ながしかく」と呼んでいた。英語で正方形は (perfect) square、長方形は rectangle 。
◆マリー・アントワネットは、ハンカチの形が、円や長方形など、形が定まっていないことが気に入らなかった。そこで、
「ハンカチは、正方形にしなさい！」
と、言ったそうだ。その日であるとされる11月３日を、日本布製品工業組合連合会は、ハンカチの日に指定している。
◆■ マリー・アントワネット ■
1755〜93。オーストリアの女帝マリア・テレジアの娘。1770年に14歳で結婚し、フランス王ルイ16世の妃となる。派手好きで浪費家。反革命派心人の一人として、1793年10月16日、パリのコンコルド広場で、ギロチンに処せられた。
◆ブルボン家の皇太子とハプスブルク家の王女のこの結婚は、仏墺両国が結束するための政略結婚だった。
◆食糧不足に激高するパリ市民の様子を聞き、マリー・アントワネットは、
「パンがなければ、ケーキを食べればいいでしょう」
と言ったそうな。
◆「アントワネット・ペリー賞」というのがある。女優アントワネット・ペリーをしのんで1947年に制定された、ブロードウェー演劇の年間賞のことだ。一般には「トニー賞」と呼ばれている。
◆１辺が10ｍの正方形の土地の面積は、１ａ（アール）であ〜る。１辺が100ｍの正方形の土地なら、１ha（ヘクタール）にな〜る。
◆正方形の部屋の畳の並べ方。小さい方から、半畳、２畳、４畳半、８畳、12畳半、18畳、……。
◆先日、６畳の部屋の畳の表をすべて張り換えてもらった。畳の下からどんなものが現れるのか……。ゴキブリの死骸がゴロゴロ出てきたらどうしようと、少し恐怖だったが、数年前の新聞が出てきただけだった。畳を運び出したあとの部屋は、何だか間の抜けた気がした。
数時間後、畳屋さんは、雨の中をやってきた。それからの作業の様子を見ていて、不思議に思ったとがある。
畳屋さんは、できあがった６枚の畳を、きちんと元の位置に並べているのだ。そんなこと、どこが不思議なんだと思われるかもしれないが、畳の大きさはどれも同じ。どの畳をどこに置いたっていいじゃないの？
しかし、これは、素人の発想。畳は、部屋の大きさに合わせて、縦横の長さが微妙に異なるので、元の位置にしか納まらないそうだ。同じ位置なら、方向を変えて納めるくらいはできるかもしれないけど。