● 第四十四段 ● 放物線を描く
第二十三段で、自由落下や放物線について述べた。あのとき、お手玉をしながら、
「どうしてかな？」
と、ぼそっとつぶやいたら、稲田君が話に乗ってきた。
「どうしてって、何が？」
「どうして、物を投げたら、放物線を描くのかなと思って」
「よし、僕が解明してやろう」
あれから、５ヶ月が過ぎた。こっちとしては、疑問を持ったことも既に忘れていたのだが、そんなことにはおかまいなしに、彼は説明を始めた。
「それほどむずかしくはなかったよ」
と言っていたが、説明を聞いているうちに、なぜ５ヶ月もかかったのか分かってきた。ここからの彼の説明はややこしいので、読み飛ばしてもらった方がいいかもしれない。
読み飛ばした方がいいと言いながら、では、なぜ、こうやってまとめているかというと、それは「感動した」からだ。
ｙ
｜ ＿
｜ ／ ＼
｜ ／ ＼
｜ ／ ＼ ｖy ｖ
｜ / ヽ ｜ /
｜ / ヽ ｜ /
｜ / ヽ ｜ /
｜/α ヽ ｜/α ０°＜∠α＜９０°
＋―――――――――――――ｘ ＋――ｖx
Ｏ
水平方向にｘ軸、鉛直方向にｙ軸をとる。原点Ｏから、水平方向に∠αをなす方向に速さｖで、質点Ｐを投げたときのＰの運動について調べるよ」
「のっけからなんだかむずかしいね。で、『質点』って何？」
「投げる物はこの際、リンゴでも、ボールでも何でもいい。だから、力学では、質量と位置を持つ仮想の点を考えるんだ。それが、質点」
「ふ〜ん。先が心配だな」
「Ｐの質量の大小にかかわらず、ｔ秒後の速度は次のようになる」
と、稲田君は、紙に式を書いた。
ｘ軸方向の速度‥‥ｖx＝ｖcosα
ｙ軸方向の速度‥‥ｖy＝−ｇｔ＋ｖsinα
「それなら、分かる。高校時代に物理でやった。ｇは、重力加速度だね」
「その通り。位置を求めるためには、それぞれを積分すればよい」
「積分！ 積分なんて、もう忘れてるかもしれない」
「大丈夫だと思うよ」
ｘ＝ｖcosα･ｔ＋Ｃ1 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥（１）
１ 2
ｙ＝−――ｇｔ ＋ｖsinα･ｔ＋Ｃ2 ‥‥･（２）
２
「C1、C2って何？」
「積分定数さ。ｔ＝０ のときのＰの位置は原点なので、実際は、C1＝０､C2＝０だ」
「そんなのもあったね。で、一体何をやろうをしているの？」
「だから、放物線であること。つまり、ｙがｘの２次関数であることを、導いてるんじゃないか」
「あ、そうか。すると、まだ途中だね」
「そうだ。次に（１）式をｔについて解き、（２）式に代入する」
ｘ
（１）式を変形 ｔ＝―――― ‥‥‥‥（３）
ｖcosα
（３）式を（２）式に代入
ｇ 2
ｙ＝−―――――――・ｘ ＋tanα･ｘ ‥‥‥‥（４）
2 2
２ｖ cos α
「ほらね」
「『ほらね。』って、何が？」
「だから、ｙがｘの２次関数で表されたでしょ」
「う〜ん、確かにね。でもなぁ‥‥」
「さらに、（４）式から、水平方向の到達距離も求められる」
「分かった。ｙ＝０を代入するんだね」
（４）式にｙ＝０を代入し、変形。
ｇ 2
―――――――・ｘ ＝tanα･ｘ
2 2
２ｖ cos α
ｘ≠０なので、さらに式を変形し、
2 2 2
２ｖ cos α ｖ sin２α
ｘ＝―――――――・tanα＝――――――
ｇ ｇ
2
（２cos α・tanα＝sin２α の説明は、【メモ】で。）
「ｖとｇは一定だから、sin２α が最大のとき、到達距離は最長になるんだ」
「45°のときだね。そうすれば、sin２α＝１ になるから」
「その通り」
稲田君には、感謝の言葉を述べた。勉強になった。しかし、５ヶ月前の疑問は、疑問というよりは、感動に近いものだったのだ。物を投げるという日常のごく自然な動きが、どうしてこうもうまく数学で表すことができるのか……。
これ以後、彼の物理の講義が増えることとなった。
【メモ】
◆岩田帯は、妊娠５ヶ月の犬の日に安産を願って締める。
◆定点と定直線に至る距離が等しい点の軌跡を「放物線」という。また、この定点を放物線の「焦点」、この定直線を放物線の「準線」という。
たとえば、自分の家の位置を点Ａ、まっすぐな国道を直線ｌで表す。点Ａ、直線ｌから等しい距離にある点をたくさんとっていくと、それが放物線を描くことになる。この場合、自分の家が焦点で、国道が準線に当たる。
◆次のことを覚えておこう。
tanα＝sinα／cosα
次の２式は、三角関数の加法定理と呼ばれものである。
sin（α±β）＝sinα･cosβ±cosα･sinα
＿
cos（α±β）＝cosα･cosβ＋sinα･sinα
これで、本文中の式の変形ができる……はずだ。
◆「ウォーーーーー！」。
やり投げ、砲丸投げ、ハンマー投げ、円盤投げなどの投擲（とうてき）競技の選手は、投げるときに大きな声を出す。声を出して投げた方が、記録が伸びるらしい。なぜだ。
◆本文でも述べたように、物を遠くまで投げようと思ったら、45度の角度で投げるのがよい。45度というのは、日常の認識と一致していて非常に面白い。角度が小さいとすぐに地面に落ちてしまいそうだし、角度が大きいと高さばかりで飛距離が得られない。中を取って、45度。むずかしい計算なんてしなくたって、45度は感覚として求められる。